Kategoriarkiv: Oppgaver

Oppgaver: Vind og vann

DSC_0135
Foto: Elin Darelius Chiche

Vind og havstrømmer har en styrke og en retning, og vi bruker derfor vektorer for å beskrive dem. For eksempel er \(\vec{u}=u\vec{i} + v\vec{j}\). \(\vec{i}\) og \(\vec{j}\) enhetsvektorer som peker mot øst og nord (se figur under), mens \(u\) og \(v\) angir lengden på vektoren eller styrken på strømmen i den retningen. Om vinden blåser mot nord med 10 m/s så er \(\vec{u}=10\vec{i}\); blåser den mot sør så er \(\vec{u}=-10\vec{i}\); og blåser den mot nordøst så er \(\vec{u}=7.1\vec{i}+7.1\vec{j}\).

Enhetsvektoren i har lengde 1 og peker mot øst. Enhetsvektoren j har lengde 1 og peker mot nord.

Isforholdene forandrer seg hele tiden på grunn av vind og havstrømmer. Så kapteinen må hele tiden følge med og se på for eksempel satellittbilder slik at vi ikke blir «fanget» av drivisen. Araon er en isbryter, men å bryte is går sent og bruker mye drivstoff. Havisen er relativt tynn og påvirkes mest av vinden. En tommelfingerregel er at isen forflytter seg med ca 2% av vindhastigheten og ca 30 grader til venstre for vinden (til høyre i Arktis).

 

Oppgave 1

Vinden blåser 20 m/s mot vest og iskanten er 5 km fra land

a) Uttrykk vinden og isens bevegelse i vektorformat!

b) Hvor langt sørover forflytter isen seg på en time?

c) Hvor fort må Araon kjøre for å komme forbi odden (se figur) inne isen stenger passasjen? Klarer vi det?

Kart over Amundsenhavet. Det turkise området er isbremmen, grått er land. Araon (den røde prikken) er på vei mot den vestre fronten av Getz isbremmen for å sette ut rigger (markert med kryss i kartet), men isen blåser inn mot land. Kommer båten fram?

Oppgave 2

Vinden utøver et stress \((\vec{\tau}=\tau_x\vec{i} + \tau_y\vec{j})\) på vannoverflaten og setter opp en strøm i vannet. Stressets størrelse kan vi regne ut fra vinden: \(\vec{\tau}=C_{D}\left|\vec{u}\right|\vec{u}\), der \(\vec{u}=u\vec{i}+v\vec{j}\) er vinden i 10 m høyde.

a) Om det blåser 10 m/s mot nord og \(C_D=1.6\times10^{-3}\), hvor stort er stresset da? I hvilken retning virker det?

b) Man vet at størrelsen på \(C_D\) endres når det er is på vannet, og noen forskere har foreslått at \(C_D=10^{-3}\times(1.5+2.233C_i-2.333C_i^2)\) der \(C_i\) er andelen av havoverflaten som er dekket av is (iskonsentrasjonen). For hvilken iskonsentrasjon er \(C_D\) størst? Minst? Hvor stor var iskonsentrasjonen i oppgaven over?

Oppgave 3

Under sin ekspedisjon på FRAM (1893-1896) så observerte Nansen at isen drev til høyre (i Arktis) for vinden og han ba sin venn Vilhelm Bjerknes få en av sine studenter til å studere problemet. Det ble svensken Vagn Walfrid Ekman som forklarte isens bevegelse, som er et resultat av friksjon og jordens rotasjon. Ekman satte opp en teori for hvordan strømmen som vinden lager oppfører seg. Strømmen endrer seg med dypet (\(z\)) og vi kan skrive \(\vec{u(z)}=u(z)\vec{i} + v(z)\vec{j}\). Størrelsen på \(u(z)\) og \(v(z)\) kan vi beregne fra følgende formler (som ikke er så kompliserte som de ser ut!)

\(
u(z)=\frac{\sqrt{2}}{1000fd} e^{z/d}\left[\tau_x cos(z/d-\pi/4) -\tau_y sin(z/d-\pi/4)\right]
\)

 

\(
v(z)=\frac{\sqrt{2}}{1000fd} e^{z/d}\left[\tau_x sin(z/d-\pi/4) +\tau_y sin(z/d-\pi/4)\right]
\)

 

der \(z\) er høyde (så dybde er negativt), \(f=1.46\times10^{-4}sin(breddegrad)\) er Coriolis faktoren og \(d=\sqrt{\frac{2\nu}{\left|f\right|}}\) er tykkelsen på laget som kjenner vindens påvirkning. Vi kaller det ofte Ekman laget. \(\nu=10^{-2}m^2/s\) er viskositeten* – vannets «tykkelse» eller treghet (sirup har for eksempel en høyere viskositet enn vann **). Teorien er viden kjent blant oseanografer og kalles bare for «Ekman spiralen».

* Den molekylære viskositeten til vann er mye lavere, \(\nu=10^{-6}m^2/s\), men i havet gjør virvler og turbulens at den effektive viskositeten blir større.

**Se for eksempel https://no.wikipedia.org/wiki/Viskositet for en animert illustrasjon av effekten av viskositet.

 

a) Hvilken verdi har Coriolis faktoren i Amundsenhavet? I Bergen?

b) Hvor tykt er Ekman laget? Et isfjell kan være fler hundre meter tykt – tror du det påvirkes av strømmen som vinden lager?

c) Om det blåser 15 m/s mot vest og det er isfritt, hvor stor er da \(\tau_x\) og \(\tau_y\)? (Se oppgave 2)

d) Fra hvilken retning (og med hvilken hastighet) flyter vannet i overflaten (z=0)? I Ekmandypet (z=-d)? På hvilket dyp går strømmen i motsatt retning av vinden?

e) Prøv å plotte strømmen! Hvorfor tror du vi snakker om Ekman spiral?

f) Når vi sender ned vår LADCP*** får vi strømprofiler med en oppløsning på 8 m (dvs vi får en verdi for strømmen for hver åttende meter). Tror du vi klarer å observere Ekman spiralen? Hvorfor/hvorfor ikke?

g) Når det blåser mot vest i Bergen, i hvilken retning går overflatestrømmen da?

*** Et instrument som følger med CTD’en ned til bunn og som måler strømmen i vannet på vei ned. Man får da strømprofiler i tillegg til profiler av salt og temperatur.

Oppgave 4

Om man summerer opp (integrerer) strømmen som vinden lager i Ekman laget så kan man regne ut transporten, dvs hvor mye vann som flyttes i en retning på grunn av vinden. Det kaller vi for Ekman transporten, \(\vec{Q_{Ekman}}=U\vec{i}+V\vec{j}\). Da får vi at

\(U=\frac{10^{-3}}{f}\tau_y\)

 

\(V=-\frac{10^{-3}}{f}\tau_x\)

 

Enheten på U og V er \(m^3/m/s\) (eller \(m^2/s\)) og de angir altså hvor mye vann som flyter forbi per meter per sekund. Uttrykket for \(\tau\) finner du i oppgave 2.

a) Om det blåser 15 m/s mot nordvest og det er isfritt, hvor stor er da U og V? I hvilken retning flyttes vannet?

b) Hvor stor er vinkelen mellom vinden og transporten?

c) Om vi har to bøyer (se figur under) som ligger 10 km i fra hverandre og der en linje mellom de to bøyene er parallell med vinden, hvor mye vann strømmer mellom bøyene på en time? Hva tror du skjer om linjen mellom A og B hadde vært kystlinjen?

Illustrasjon til oppgave 4. Vinden blåser parallelt med linjen A-B. I hvilken retning går Ekman transporten? Hva hadde skjedd om linjen A-B var kystlinjen?

Når vinden blåser parallelt med kysten, kommer vannet enten til å samles opp mot kysten eller «forsvinne» fra kysten.

d) I hvilken retning tror du det blåser når vi får oversvømming på Bryggen i Bergen (tidevannet er selvsagt også viktig)?

e) Ved kysten av det Antarktiske kontinentet blåser vinden vanligvis mot vest. Lengre nord (60S) blåser det sterke vinder mot øst. Skisser hvordan vinden blåser og i hvilken retning Ekman transporten går. Hva tror du skjer i midten? Diskuter i grupper før dere leser svaret lenger nede på siden.

 

Konvergens og divergens i havet

Når vinden og dermed Ekman transporten har ulik retning (det holder egentlig at den endrer størrelse) fra ett område til et annet (som i oppgave 4) får vi «konvergens» (hvis overflatevann «samles sammen», dvs. hvis pilene som viser Ekman transport peker mot hverandre) eller «divergens» (dvs. hvis pilene går fra hverandre). Når vi har divergens og overflatevannet «forsvinner» så må det etterfylles med vann nedenfra. Vann fra dypet «suges» opp til overflaten av vinden. I områder der dette skjer kontinuerlig (for eksempel rundt Antarktis) er det høy biologisk aktivitet ettersom vannet nede i dypet er rikt på næringsstoffer. Vindmønsteret rundt Antarktis løfter opp relativt tungt vann fra dypet og bidrar til vannet i den øvre delen av havet er tyngre enn i andre områder. Vann som har sunket til bunnen av Nord-Atlanteren kommer hit til overflaten igjen. For å lese mer, så kan du google f.eks » wind driven upwelling «.

Oppgaver: Rette linjer og smeltende is

Slik ser en isbrem ut fra siden. Den røde pilen viser varmt vann som strømmer inn under isen.

Frysepunktet til havvann synker med økende saltholdighet og med økende trykk – jo saltere vannet er eller jo høyere trykket er, jo mer kan man kjøle det ned før det fryser. Ferskvann fryser ved 0\(^\circ\)C – havvann ved -1.9\(^\circ\)C. På 1000 m dyp kan man kjøle ned vannet til -2.6\(^\circ\)C innen det fryser. Under de store isbremmene i Antarktis kommer havvann i konatakt med is på store dyp. Når vann er i kontakt med is, så smeltes isen og vannet kjøles ned til frysepunktet. Under Filchner-Ronne isbremmen finnes grunningslinjen (se figur) på 1800 m dyp. Da kan vannet bli veldig kaldt!

Oppgave 1

Frysepunktet er en funksjon av saltholdighet og trykk; \(T_f=T_f(S,P)\). For konstant P (dvs. på et visst dyp) og for små endringer i S endrer frysepunktet seg lineært med saltholdigheten og vi kan skrive \(T_f=kS+m\).

a) Vi vet at \(T_f(S=34.4,P=0)=-1.8879^\circ C\) og \(T_f(S=34.7,P=0)=-1.9051^\circ C\). Bestem konstantene \(k\) og \(m\).

b) Hva er \(T_f(S=34.5,P=0)\)?

c) Hva er \(T_f(S=0,P=0)\)? Stemmer det? Hvorfor/hvorfor ikke?

På samme måte kan vi, for en gitt saltholdighet, skrive \(T_f=kP+m\).

d) Vi vet at \(T_f(S=34.5,P=0)=-1.8936^\circ C\) og \(T_f(S=34.5,P=1000dbar)=-2.6466^\circ C\). Trykket øker med omtrent 1 dbar per meter, så trykket er ca 100dbar på 100 m dyp, 200dbar på 200 m dyp og så videre. Bestem konstantene \(k\) og \(m\).

e) Hva er frysepunktet når P=2000dbar (ca 2000 m dypt)?

f) Min kollega Svein Østerhus har vært med og boret gjennom den tykke isen Filchner-Ronne isbremmen i Weddellhavet og gjort målinger av vannet under. Den laveste temperaturen de målte var -2.53\(^\circ\)C. Saltholdigheten var 34.5. Hvor dypt må de (minst) ha vært?

g) Hvor kaldt kunne vannet ha vært om du målte nede ved grunningslinjen (1800 m)?

Oppgave 2

Når is smelter i saltvann skjer to ting; temperaturen synker ettersom varmen fra vannet brukes til å smelte isen, og saltholdigheten synker ettersom saltvannet blander seg med smeltevannet fra isen. For å smelte en viss mengde is trenger vi en viss mengde varme – skal vi smelte dobbelt så mye is trenger vi dobbelt så mye varme. Forandringen i temperatur er proporsjonal med forandringen i saltholdighet: \(k=\Delta T/\Delta S\)=2.4. En linje med stigningstall 2.4 i et TS-diagram (et diagram med salt på x-aksen og temperatur på y-aksen) viser hvordan saltholdighet og temperatur forandres når is smelter i havvann. Den kalles for en Gade-linje (se figur) etter Professor Herman Gade fra UiB.

gade
TS-diagram som viser to Gade linjer (røde linjer) og frysepunktet (svart linje). I oppgavene skal vi bestemme linjenes ligninger og finne skjæringspunkt. De stiplede linjene viser iopyknaler. Iso betyr lik, pykno betyr tetthet – så alle vannmasser (punkter) på linjen har samme tetthet. Tallene angir tetthet i kg/m3.

a) Finn ligningen (\(T=kS+m\)) som beskriver hvordan temperaturen forandrer seg når is smelter i vann som har T=2\(^\circ\)C og S=34.6? Plot den i et TS-diagram (en graf med saltholdighet på \(x\)-aksen og temperatur på \(y\)-aksen).

b) Hvor salt er vannet når T=0\(^\circ\)C?

c) Hvor salt er vannet når vannet er på fryspunktet? Her trenger man å bruke uttrykket for frysepunktet som du kom fram til i oppgave 1 (P=0).

d) Figuren nedenfor viser et TS-diagram med data fra en CTD stasjon som ble tatt ved fronten av Filchner isbremmen da jeg var der for noen år siden. Hva var den laveste temperaturen som vi målte da? Hvordan kan det ha blitt så kaldt?

TS-diagram som viser data fra en stasjon ved fronten av Filchner isbremmen. Den svarte linjen viser frysepunktet (for P=0).

e) Finn Gade linjen som går gjennom punktet med det kaldeste vannet vi observerte og plott den sammen med dataene og og linjen som angir frysepunktet (fra oppgave 1, P=0).

f) Det meste av vannet som kommer inn under Filchner-Ronne isbremmen er på frysepunktet (P=0). Hvor salt var det kaldeste vannet som vi observerte når det kom inn under isbremmen, dvs før det smeltet is?

Med hjelp av Gade linjen kan vi bestemme hvor salt vannet som kommer ut fra hulrommet under Filchner-Ronne isbremmen var når det strømmet inn. Ettersom vi vet hvordan saltholdigheten endrer seg langs fronten (det blir saltere jo lenger vest man går) så kan vi også si hvor vannet strømmet inn.

Oppgaver: Rigger og tidsserier

Vi reiser på tokt til Amundsenhavet annenhvert år og gjør masse målinger. Slik får vi et bilde av hva som skjer i det tidsrommet vi er der. Men vi vil selvsagt også vite hva som foregår når vi ikke er der. Derfor setter vi ut «rigger». En rigg er kort sagt et anker, en line som vi fester instrumenter på, og deretter flyteelementer som holder den oppe. Riggen plasseres på bunnen og måler (vanligvis hastighet, salt og temperatur, men vi skal også ha instrumenter som måler konsentrasjonen av oksygen i vannet) til vi kommer tilbake ett eller to år senere og plukker den opp igjen. Hvordan riggen ser ut og hvilke instrumenter som settes på er avhengig av hva man skal studere. I tabellen i oppgave 2 finner du informasjon om noen av instrumentene vi bruker og her ser du hvordan en av mine rigger ser ut:rigg

Oppgave 1

Nå kan du få designe din egen rigg! Hvordan skulle den sett ut om du ville…

a) studere hvordan vannets saltholdighet og temperatur forandrer seg i de øvre 200 m i løpet av ett år i et område som er 500 m dypt?

b) studere en bunnstrøm som når opp til 300 m over bunn?

c) finne ut hvor mye varmt vann som strømmer inn under en isbrem? Det er 800 m dypt. Tenk på at isbremmen kan være 300 m dyp.

Oppgave 2

Gjør beregninger for din egen rigg eller for en rigg som har:

1 x utløser (25 mob); 3 x  SBE37 (25, 150 og 300 mob), 1 x RCM (50 mob), 1 x ADCP (300 mob) og  5 x SBE56 (50, 75, 100, 200, 250 mob). Mob=meter over bunn.

Instrumentene har følgende dimensjoner (alle er omtrent sylinderformet):

a) Hvor mye veier instrumentene på riggen i luft? I vann?

Riggen må også ha flyteelementer (glasskuler) for å holde seg vertikal!

b) Hvor stor er oppdriften fra en glasskule? Glasskulenes diameter er 43 cm og har en masse på 22 kg.

c) Hvor mange glasskuler trenger vi for å holde riggen oppe?

Oppgave 3

Når det er sterk strøm så dras riggen ned mot bunn – det er ikke bra! For det første så får man ikke målinger fra det dypet man hadde tenkt, og for det andre så kan mange instrument ikke måle når de heller for mye. En ADCP kan for eksempel ikke måle strømmen om den heller mer enn 15\(^\circ\). Derfor setter vi på ekstra flyteelementer for å holde riggen vertikal også når det er sterk strøm. Kraften som det strømmende vannet utøver på riggen er proporsjonal med området (arealet) som vannet treffer.

a) Hvor stor andel av riggens areal utgjør linen?

b) Hvor mye minsker motstanden om vi bytter til en line som bare er 6 mm i diameter?

c) Et instrument har blitt dratt ned til 170 m over bunnen (mob) og dratt 218 meter nedstrøms. Et annet instrument har blitt dratt ned til 65 mob og 105 meter nedstrøms. Formen på linen kan beskrives med en (halv) parabel. Finn uttrykket for parabelen.

d) Trykksensoren på en ADCP viser at den nå sitter 40 mob. Hvor mye heller den da? Kan vi bruke målingene?

e) Hvor høyt opp måtte ADCP’en ha vært for at vi skulle kunne bruke målingene?

f) Hvorfor tror du vi heller setter en ADCP høyt oppe så den «ser» nedover enn en som sitter nær bunn og «ser» opp?

mooring2
En av mine rigger i sterk strøm. Vi bruker dataprogram for å beregne hvordan riggene kommer til å oppføre seg i sterk strøm. Programmet forteller oss også hvor tungt ankeret må være.

Oppgave 4

Når vi henter opp riggen igjen og laster ned dataene fra instrumentene får vi tidsserier av strøm (hastighet), temperatur, og saltholdighet. Nå skal vi kikke på data fra rigger som stod ute i Amundsenhavet i 2012

a) Les inn og plot strømmålingene fra rigg S4 mellom 17-24 juni, 2012. (Riggdata_S4_1).  Strømmålingene er i cm/s. Hva er det vi ser?

b) Hva er middelstrømmen? I hvilken retning går den? (\(u\) gir strømstyrken i \(x\)-retning (mot øst) og \(v\) gir strømmen i \(y\)– retning (mot nord)).

c) Om du skal tilpasse eller beskrive observasjonene med en funksjon , hvilken velger du da?

d) Bestem konstantene ved hjelp av regresjon.

e) Et isfjell flyter med strømmen i nærheten av S4 – sett opp et utrykk (på vektorform) for hvordan isfjellet kommer til å forflytte seg og plott trajektorien i en ny figur. Beskriv bevegelsen.

f) Plott strømmen en uke fram i tid ved hjelp av din funksjon fra (d).

g) Les inn data fra S4 24/6 – 1/7 og plott den i samme figur – stemmer det med din modell? Hvorfor/hvorfor ikke? (Filen heter: Riggdata_S4_2).

Oppgave 5

Les inn i plott trykkmålingene fra rigg C2. Her var strømmen mye sterkere enn vi trodde, og vi hadde ikke satt på tilstrekkelig med flyteelementer 🙁  (Filen heter: Riggdata_C2).

a) Hva er det vi ser? (hint: se oppgave 2)

b) Hvor dypt sitter instrumentet når det er svak strøm? (1 m \(\approx\) 1 dbar)

c) Hvor dypt dras det ned maksimalt?

d) Hvor stor del av tiden har det blitt dratt ned mer enn 40 m? 80 m?

e) \(u\) gir strømstyrken i \(x\)-retning (mot øst) og \(v\) gir strømmen i \(y\)– retning (mot nord). Bruk Pythagoras og sett opp et uttrykk for strømstyrken. Regn ut strømmen! Hvor sterk er den sterkeste strømmen? Middelstrømmen? Hvor mange kilometer per time er det?

f) Er det noen sammenheng mellom strømstyrke og trykk (dvs neddragning)? Hvordan ser det ut? Beskriv sammenhengen matematisk og forklar med ord.

Oppgave 6

Instrumentene går på batteri – og hver gang de gjør en måling brukes det litt (eller mye om det er en ADCP) energi. Vi vil selvsagt at instrumentene skal gjøre målinger helt til vi kommer tilbake og henter riggen, så vi regner ut på forhånd hvor ofte vi kan gjøre målinger uten at batteriet tar slutt. Men vi må også ta hensyn til for eksempel tidevann når vi bestemmer hvor ofte vi skal måle.

a) Det daglige tidevannet (en av komponentene) har en periode på 25.8 timer. Tidevannet kan beskrives med en sinus kurve. Amplituden (og fasen) avhenger av hvor vi er, men anta at amplituden er 10 cm/s og fasen er 0. Sett opp et uttrykk som beskriver tidevannet og plott det tretti dager fram i tiden.

b) Om vi hadde gjort målinger bare en gang om dagen (dvs hver 24 h), hvordan hadde vår tidsserie sett ut da?

c) Hvilken periode har «svingningen» som vi da observerer?

d) Tidevannet som vi observerer er en sum av mange tidevannskomponenter med ulike perioder. En annen heldaglig tidevannskomponent har en periode på 23,93 timer. Sett opp uttrykket for den tidevannskomponenten dersom amplituden er 9 cm/s (fasen kan du sette til null) og plott summen av de to komponetene. Hva ser du? Hvordan endres amplituden? Kan du forklare hva som skjer? (tips – plott både de ulike komponentene og summen av dem). Sammenlign resultatet med resultatene dine fra oppgave 3g.

Oppgaver: Saltholdighet, temperatur og tetthet.

DSC_0240
Vakre bølger i Antarktis! Foto: Elin Darelius Chiche

Vi oseanografer snakker ofte om «vannmasser». Dette er vann med ulikt opphav og som derfor har ulik saltholdighet og temperatur. Vi snakker for eksempel om Atlantisk vann som er varmt og salt, om Antarktisk overflatevann som er kaldt og ferskt, og om Antarktisk sokkelvann som er kaldt og salt. Vannets saltinnhold og temperatur bestemmer dets tetthet; kaldt vann er tyngre enn varmt vann, ferskt vann er letter enn salt.

Det er i stor grad atmosfæren som bestemmer vannmassenes egenskaper. Der det er varmt varmes opp, der det er kaldt kjøles det ned. Saltholdigheten bestemmes av fordampning, ferskvannstilførsel (fra elver og bekker eller fra regn eller snø), og av isdannelse. Når det dannes is om vinteren, er det vannmolekylene som fryser. Det meste av saltet blir skilt ut, og saltholdigheten i vannet under øker. I grunne områder der det dannes mye is – for eksempel på noen av kontinentalsoklene i Antarktis – kan vannet bli veldig salt og dermed veldig tungt. Når isen senere smelter om våren så dannes det et ferskt lag på toppen av det salte. I oppgaven her snakkes det om «Circumpolar Deep Water», CDW. CDW er egentlig en blanding av flere vannmasser, blant annet vann som kommer helt fra Nord-atlanteren. CDW har en temperatur mellom 1 og 2 grader og en saltholdighet mellom 34.62 og 34.73. Saltholdigheten har merkelig nok ingen enhet, men det tilsvarer omtrent promille. Om saltholdigheten er 1 så er det 1 gram salt per kilo vann. Saltholdigheten i havet er typisk 35, eller ca. 3,5%.

I et TS-diagram (en figur med saltholdighet på x-aksen og temperatur på y-aksen; se figur) blir en vannmasse til et punkt eller en liten boks. Blander vi to vannmasser kommer blandingen til å ha en saltholdighet og en temperatur som ligger på rett linje mellom de to originale vannmassene.

 

TS-diagram. De røde boksene viser saltholdighet og temperatur til CDW og WW (se tekst). De stiplete linjene er isopyknaler – alle vannmasser som ligger på en isopyknal har samme tetthet.
TS-diagram. De røde boksene viser saltholdighet og temperatur til CDW og WW (se tekst). De stiplete linjene er isopyknaler – alle vannmasser som ligger på en isopyknal har samme tetthet. Den svarte linjen viser vannets frysepunkt.

Oppgave 1

Du har to flasker A og B med havvann der \(S_A\)=33.2, \(T_A\)=4C og \(S_B\)=34.8, \(T_B\)=1C. Tegn dem inn i et TS-diagram.

a) Hvilken saltholdighet og temperatur har en blanding som består av 50% A og 50% B ?

b) Hvilken saltholdighet og temperatur har en blanding som består av 10% A og 90% B ?

c) Hvilken saltholdighet og temperatur har en blanding som består av 73% A og 27% B ?

d) Tegn inn dine blandinger i TS-diagrammet.Hva ser du?

e) Om du har en tredje vannmasse der \(S_C\)=33.7, \(T_A\)=0C – hvilke blandinger kan du få da?

 

Oppgave 2

a) Les inn og plott temperatur og saltholdighet fra riggen S4, 320 m dybde som en funksjon av tid (Filen heter: Riggdata_S4_TS.txt).

b) Tiden er gitt i dager siden 1. Januar 2012. Hvilken dag ble riggen satt ut? Når ble de tatt opp igjen?

c) Hva er middel temperatur/saltholdighet og standardavvik?

d) Ser du noen sesongvariasjon? Kan den beskrives med en sinusfunksjon? Hvorfor / hvorfor ikke?

e) Plott temperatur som en funksjon av saltholdighet, hva ser du? Kan du beskrive forholdet mellom salt og temperatur med hjelp av lineær regresjon?

f) Et instrument i nærheten målte S=34.25, S=34.6 og S= 33.9 – hva tror du temperaturen var?

g) Er dine svar på oppgaven ovenfor rimelige? Havvann fryser ved -1.9C. For hvilke saltholdigheter er din regresjon gyldig?

h) Observasjonene viser at vannet vi observerer ved riggen er en blanding av CDW (Circumpolar Deep Water) og WW (Winter Water). Hvilke egenskaper har vårt CDW? WW har vanligvis en temperatur på -1.9C. Observerer vi rent WW på riggen? Bruk regresjonen til å bestemme hvilken saltholdighet WW har.

i) Du har nå bestemt egenskapene (S og T) på WW og CDW. Hvilken temperatur og saltholdighet får en blanding av 10% CDW og 90%WW? 50% av begge? 75% CDW og 25% WW?

j) Hvilken temperatur har vann som har en saltholdighet på 34.45? Hvor stor del av vannet er CDW og WW?

 

Oppgave 3

Vannets tetthet – dvs. hvor mye 1 m\(^3\) vann veier – er avhengig av hvilken temperatur og hvilken saltholdighet det har. Kaldt vann er tyngre enn varmt, ferskt vann er lettere enn salt. Sammenhengen mellom S, T og tetthet er komplisert, men for små endringer i salt og temperatur så er forholdet tilnærmet lineært:

\(   \rho = \rho_0 [1 + \beta (S – S_0) – \alpha (T – T_0) ] \)

 

I utrykket over er \(S\) saltholdighet, \(T\) er temperatur, \(\beta\) er den haline koeffisienten og \(\alpha\) er den termale koeffisienten. \(S_0\) og \(T_0\) er referanseverdien som man selv kan velge og \(\rho_0=\rho(S_0,T_0)\). Verdiene på \(\alpha\) og \(\beta\) avhenger av hvilke verdier du velger for \(S_0\) og \(T_0\). Om vi velger \(S_0\)=34.6 og \(T_0=\)=0.5C så er \(\rho_0=\rho(S_0,T_0)\)=1027,8 kg/m\(^3\), \(\alpha \approx \) 5.77*10\(^{-5}\) C\(^{-1}\) og \(\beta \approx 7.84*10^{-4}\). Med andre ord så starter vi fra en referanseverdi og så beregner vi bidraget fra endringer i salt og temperatur.

Bruk lineariseringen til å beregne tetthetsprofiler fra temperatur og salt profilene i CTDdata_Amundsenhavet.txt. Hvordan ser de ut sammenlignet med profilene for salt og temperatur?

a) Velg en av profilene. Hvor er tettheten størst? minst? Hvorfor er det slik?

b) Hvor stor er tetthetsforskjellen mellom overflaten og bunn? Hvor mye saltere må overflatevannet bli for at det skal bli like tungt som vannet på bunn?

Tettheten må øke med økende dyp, ellers er vannet ustabilt: tungt vann ligger over lett vann. Det tunge vannet kommer da til å synke ned til «sitt» nivå (noe som kalles konveksjon).

c) Om vi kjøler ned vannet i overflaten til frysepunktet \((T_f\)=-1.9C), hvor tungt blir det da? Hva tror du skjer?

d) Når det blåser så blandas vannet i overflaten og vi får ett homogent (konstant saltholdighet og temperatur) lag på toppen. Da blir den nye saltholdigheten i overflaten lik middelsaltholdigheten til det vannet som blandes.

e) Hva er middelsaltholdigheten i de øverste 100 m?

f) Hvor tungt blir det homogene laget i overflaten om det kjøles ned til frysepunktet? (\(T_f\)=-1.9C)

g) Hvor mye må vi øke saltholdigheten for at vannet skal bli like tungt som vannet på bunnen? Hvordan kan saltholdigheten øke i Antarktis? I Middelhavet?

 

Oppgave 4

Når vannet blir varmere synker tettheten – det betyr at varmt vann tar mer plass. En stor del av havnivåstigningen som vi ser i dag (og kommer å se mer av i framtiden) skyldes at vannet nede i dypet varmes opp. Om 4000 m dypt vann (med \(S_0\), \(T_0\), \(\rho_0\),\(\beta\) og\(\alpha\)) som i oppgave 3 varmes opp en grad, hvor mye stiger havnivået da?

Oppgave 5

Når det fryser is, så er det vannmolekylene som danner krystaller og blir til is. Største delen av saltet skilles ut og blandas inn i vannet under. Saltholdigheten* på ganske ny is er typisk 7-10**. Ettersom saltholdigheten er så viktig for vannets tetthet, vil vi gjerne vite hvor mye saltholdigheten øker i vannet (\(\Delta S\)) om det fryser is med en viss tykkelse (\(h_{is}\)) og saltholdighet (\(S_{is}\)). Det kan vi regne ut med formelen:

\(\Delta S= \frac{h_{is}(S-S_{is})}{H_{vann}}\)
der \(H_{vann}\) er tykkelsen på laget med vann som saltet blander seg med.

a) Hvor mye øker saltholdigheten om vi fryser (i) 10 cm (ii) en meter med is over et 100 m tykt lag der S=34.5 og \(S_{is}\)=7.

b) Hvor mye øker saltholdigheten om vi fryser (i) 10 cm (ii) en meter med is over et 1000 m tykt lag der S=34.5 og \(S_{is}\)=7.

c) Hvor mye øker tettheten i a-b? La T=T\(_f\) (Se oppgave 3).

d) Hvor mye is må vi fryse for at vannet i oppgave 3h skal bli like tungt som vannet på bunnen? (La H=100 m, tykkelsen på laget som stormen blandet). Er det realistisk?

*Man bestemmer saltholdigheten på is ved å smelte den og deretter måle saltholdigheten på smeltevannet.

** På gammel is i Arktis kan den være nesten 0!

Oppgaver: Vann, varme og is.

DSC_0064
Foto: Elin Darelius Chiche

Isbremmene i Amundsenhavet smelter relativt raskt fordi det strømmer relativt varmt vann inn under isen. Vi vil derfor finne ut hvor mye varme vannet på kontinentalsokkelen inneholder – og hvor mye varme som inn under isbremmen. Man angir varmeinnholdet relativt til en bestemt referanse temperatur, \(T_{ref}\). Det man altså beregner er hvor mye varme man må «ta ut» for å kjøle ned vannet til \(T_{ref}\). Hvis man trenger å tilsette varme for at vannet skal nå \(T_{ref}\), så er varmeinnholdet negativt.

Vi kan regne ut varmeinnholdet, \(H\), i vannet fra en CTD-profil (observasjoner av temperatur og salt fra overflaten ned til bunnen):

\(H\approx\sum_{z=1}^{depth}\rho c_p \left(T(z)-T_{ref}\right)\Delta z\)

\(\rho\) er vannets tetthet (1027 kg/m\(^3\)) og \(c_p=4\times10^3\)J/kg/C er varmekapasiteten.

Man kan velge hvilken referansetemperatur man vil, men da havvann fryser ved -1.9C så gir det fysisk mening å velge \(T_{ref}\)=-1.9C. Da er varmeinnholdet den energien man kan ta ut fra vannet innen det fryser. \(H\) er varmeinnhold per kvadratmeter.

Når det varme vannet kommer i kontakt med is kjøles det ned (til frysepunktet) og varmen brukes til å smelte is. For å smelte ett kilo is trengs det ca. 330 kJ (litt mer om isen er kald).

En CTD på väg ner i kallt Antarktiskt vatten
En CTD på vei ned i kaldt Antarktisk vann. I midten av flaskene sitter sensorer for temperatur, konduktivitet (som man bruker for å regne ut saltholdighet) trykk og andre parametere. Foto: Elin Darelius Chiche

Oppgave 1

a) Last in CTD profilene fra Amundsenhavet (de ligger etter hverandre i CTDdata_Amundsenhavet.txt) i Geogebra og plott et par profiler og beregn varmeinnholdet.

b) Hvor mye varme finnes det i de øverste 200 m? Under 200 m dyp?

c) Vi er mest interessert i den varme som finnes i dypet. Hvorfor, tror du?

d) Lag en tabell der du noterer varmeinnhold (i det øvre og ndre laget) og bunntemperatur. Samarbeid gjerne i grupper.

e) Mine kollegaer mener at det er en direkte sammenheng mellom bunntemperatur og varmeinnhold, slik at det egentlig burde være nok å måle temperaturen på bunnen. Hvordan ser det ut i deres data? Kan dere trekke noen konklusjon basert på de profilene dere har? Diskuter!

Hvis dere vil ha mer punkter i diagrammet deres så går det an å laste ned data fra et tokt til Amundsenhavet i 2010 i fra NODC, en stor database der vi forskere sender data slik at andre forskere (og du!) skal kunne bruke dem.

Oppgave 2

a) Hvor mye is (per kvadratmeter) kan vi smelte med varmen fra profilene?

b) Man antar at det hvert år smelter ca. 400 Gton is under isbremmene i Amundsenhavet. Hvor mye varme tilsvarer dette?

Oppgave 3

a) Forskerne mener at hvis den vest-Antarktiske iskappen kollapser så kommer havnivået til å stige med tre meter. Hvor mange kubikkmeter tilsvarer dette?

b) Hvor mye varme trengs for å smelte isen?

c) Et typisk vindkraftverk produserer 2MW når det går for fult. Hvor lang tid trenger vindkraftverket for å produsere nok energi til å smelte isen?

d) Man antar at jorden mottar 0,5 W/m\(^2\) mer strålingsenergi fra solen enn hva den gir fra seg. Hvor lang tid ville det tatt å smelte all isen om all den energien gikk til å smelte is?

e) Energiforbruket i Norge er ca. 30 000 kWh per person. Hvor mange kubikkmeter smeltet is per år tilsvarer dette?

Jordens radius: 6371 km

Tetthet, is: 900 kg/m\(^3\)

Tetthet, snø: 300 kg/m\(^3\)

Tetthet, havvann: 1027 kg/m\(^3\)

Andel av jordoverflaten som er dekket av hav: 70%

Oppgaver: Regn med is!

Pannekakeis! Hvis det blåser og er bølger når isen fryser på havet så blir det ofte «pannekakeis». Isen brytes opp i biter som stadig kolliderer med bitene rundt og blir dermed mer eller mindre runde. (Foto: E. Darelius)

Is, is, is! Det er is over alt! Store isflak, små isflak, og et og annet isfjell. Det er hvitt og vakkert, men framfor alt så betyr det slutten på bølger og sjøsyke!  Isen demper effektivt bølgene.

Når vi tar varme fra vann, så kjøles det ned, helt til det når frysepunktet. Da kan vannet ikke kjøles ned mer. Fortsetter vi å ta bort varme – fryser det til is. Varmen vi tar bort er den latente varmen som frigjøres når vannet blir til is. Nå er det jo ikke «vi» som tar bort varmen, men atmosfæren. Når luften er kaldere enn vannet, forsvinner varme fra vannet og opp i luften: jo kaldere det er, jo raskere forsvinner varmen. Jo kaldere det er, jo raskere vokser isen. Men isen er en god isolator; den isolerer havet fra den kalde atmosfæren. Akkurat som jakken isolerer deg når det er kaldt ute og gjør at du holder varmen, så gjør isen at havet mister mindre varme siden all varmen som skal avgis til atmosfæren først må ledes gjennom isen. Jo tykkere is, jo senere langsommere ledes varmen opp gjennom isen, ettersom varmefluksen \((F_{is})\), angir hvor mye varme som ledes opp gjennom isen per tidsenhet) er proporsjonal med temperaturgradienten i isen.

\(
F_{is}=-k_{is}\frac{dT}{dz}=-k_{is}\frac{T_{atm}-T_{f}}{H}
\)
\(k_{is}=2\,W\,m^{-1}\,^{\circ}C^{-1}\) er isens varmeledningsevne og \(H\) er istykkelsen. \(T_{atm}\) er temperaturen på overflaten av isen (som vi antar er den samme som lufttemperaturen) og \(T_f=-1.9^\circ C\) er temperaturen på undersiden av isen, dvs. vannets frysepunkt.

Is på havet. Svarte linjer viser temperaturgradienten i isen og røde piler varmetransporten. Når atmosfæren er kald (eller isen er tynn) er gradienten og varmetransporten stor – isen vokser fort. Når temperaturforskjellen mellom luft og vann er liten er gradienten og varmetransporten liten.

Den latente varmen som frigjøres (per kvadratmeter) når isen vokser en bitteliten bit \(dH\) er \(\rho_{is}LdH\). Hvis det skjer på tiden \(dt\) så er den latente varmefluksen:

\(F_{latent}=\rho_{is}L\frac{dH}{dt}\)

 

\(\rho_{is}=900\,kg\,m^{-3}\) er isens tetthet og \(L=3.3*10^5J\,kg^{-1}\) er den latente varmen.

Isen vokser akkurat så fort at all den latente varmen kan ledes opp gjennom isen, dvs. slik at:

\(F_{latent}=F_{is}\)

 

Når vi kombinerer de to ligningene så får vi en differensialligning, som vi kan løse for å få ett uttrykk for hvordan istykkelsen vokser med tiden, \(H(t)\).

Oppgave 1

a) Sett opp differensialligningen

b) Vis at uttrykket for \(H(t)\) er

\(H=\sqrt{ H_0^2+\frac{2k_{is}(T_{f}-T_{atm})}{\rho_{is}L}t}\).

 

når \(H(t=0)=H_0\)

Tips: Bruk kjerneregelen \(\frac{dH^2}{dt}=2H\frac{dH}{dt}\).

c) Plott funksjonen for ulike \(T_{atm}\)! Når vokser isen raskest? Hvorfor?   (Sett \(H_0=0\))

d) Bruk resultatet fra (a) til å beregne tykkelsen på isen ti timer etter det begynner å fryse hvis temperaturen ute er (i) -20\(^\circ\)C (ii) -2\(^\circ\)C.

e) Når isen i (c) er 1 m tykk, hvor lang tid tar det da innen den har vokst ti cm til?

f) Hva tror du skjer når det faller snø på isen? \(\kappa_{\textit{snö}}\) er typisk mellom 0,15 og 0,4\(W\,m^{-1}\,^{\circ}C^{-1}\). Hva er den beste isolatoren? Snø eller is?

g) All varme som ledes opp gjennom isen må også ledes opp gjennom snøen: Hvor er temperaturgradienten størst? I snøen eller i isen? Skisser temperaturprofilen!

Oppgave 2

Temperaturen varierer fra dag til dag og fra år til år. Filen Temperatur.txt inneholder temperaturdata fra Amundsenhavet fra mars 2014 til mars 2015.

a) Regn ut og plott middeltemperatur hver måned. Regn også ut standardavvik og legg det til i grafen din. Hvilken måned er kaldest? Varmest? Når er temperaturen mest/minst variabel?

b) Når slutter isen å vokse?

c) Regn ut hvor mye isen vokser hver måned? Hvilken verdi skal du bruke for \(H_0\)?

d) Plott i) istykkelsen og ii) isveksten som en funksjon av tid. Når vokser isen raskest? Er det kaldest da? Hvorfor/Hvorfor ikke?

Om det är vindstilla och lugnt när isen fryser så blir det inga "pannkakor" utan så kallad "nilas": tunn is som ser nästan svart ut då man ser det mörka havet under. De tunna isflaken glider lätt över och under varandra. E. Darelius
Hvis det er vindstille og rolig når isen fryser så blir det ingen «pannekaker», men noe som kalles «nilas»: tynn is som ser nesten svart ut siden man ser det mørke havet under. De tynne isflakene glir lett over og under hverandre. (Foto: E. Darelius)

Oppgave 3

a) Hvis isen er 30 cm tykk, 2 m bred og fem meter lang – hvor stor del av isflaket stikker opp av vannet? \(\rho_{is}=900kg m^{-3}\)

b) Hvor mange forskere kan stå på isflaket (i midten) uten å bli våte på beina?

c) Hvor mye snø kan falle på isen uten at isen synker under overflaten? \(\rho_{snø}\approx 300kg m^{-3}\)

Oppave 4

I Antarktis er isen relativt tynn og det snør ofte så mye at isen trykkes ned under vannoverflaten av snøen. Da får vi et lag med slush (snø + saltvann) på toppen av isen. Når vannet i blandingen fryser får vi såkalt snøis. Man regner med at opp mot 40% av isen i Amundsenhavet er snøis!

a) Det går fortere å fryse snøis enn «vanlig» is under isflaket – kan du forklare hvorfor? Hvor langt trenger varmen ledes når vi fryser snøis? Trenger snøen å fryse?