Uppgifter: Vind och Vatten

DSC_0135Vind och strömmar har storlek och riktning, och vi använder därför vektorer för att beskriva dem, till exempel \(\vec{u}=u\vec{i} + v\vec{j}\). \(\vec{i}\) och \(\vec{j}\) är enhetsvektorer som pekar mot öst och norr (se figur nedan) medan \(u\) och \(v\) anger längden på vektoren eller styrkan på strömmen i den riktningen. Om vinden blåser mot norr med 10 m/s så är \(\vec{u}=10\vec{i}\); blåser den mot söder så är \(\vec{u}=-10\vec{i}\); och om den blåser mot nordöst så är \(\vec{u}=7.1\vec{i}+7.1\vec{j}\).

Enhetsvektoren $\vec{i}$ har l{\"a}ngde 1 och pekar mot {\"o}st. Enhetsvektoren $\vec{j}$ har l{\"a}ngde 1 och pekar mot norr.
Enhetsvektoren i har längde 1 och pekar mot öst. Enhetsvektoren j har längde 1 och pekar mot norr.

Isförhållandena förändrar sig hela tiden beroende på vind och strömmar – så kaptenen måste hela tiden följa med och se på e.g. satellitbilder så att vi inte blir «fångade» (Araon är visserligen en isbrytare, men det går långsamt och går åt mycket bränsle om man ska köra genom tjock is.)  av drivis. Havisen är reltivt tunn och påverkas mest av vinden – en tumregel är att isen förflyttar sig med ca 2% av vindhastigheten och ca 30 grader till vänster om vinden (till höger i Arktis).

 

Uppgift 1

Vinden blåser 20 m/s mot väst och iskanten är 5 km från land

a) Utryck vinden och isens rörelse i vektorformat!

b) Hur långt söderut förflyttar sig isen på en timme?

c) Hur fort måste Araon köra för att hinna förbi udden (se figur) innan isen «stänger passagen»? Klarar vi det?

Karta över Amundsenhavet. Turkosa områden är shelfis, gråa områden är land. Araon (den röda pricken) vill köra bort mot den västra fronten av Getz shelfisen för att sätta ut riggar (markerade med kryss i kartan) där, men isen blåser in mot land... Hinner hon förbi udden?
Karta över Amundsenhavet. Turkosa områden är shelfis, gråa områden är land. Araon (den röda pricken) vill köra bort mot den västra fronten av Getz shelfisen för att sätta ut riggar (markerade med kryss i kartan) där, men isen blåser in mot land… Hinner hon förbi udden?

Uppgift 2

Vinden utövar en stress \((\vec{\tau}=\tau_x\vec{i} + \tau_y\vec{j})\) på vattenytan och sätter upp en ström i vattnet. Stressens storlek kan vi räkna ut från vinden: \(\vec{\tau}=C_{D}\left|\vec{u}\right|\vec{u}\), där \(\vec{u}=u\vec{i}+v\vec{j}\) är vinden på 10 m höjd.

a) Om det blåser 10 m/s mot nord och \(C_D=1.6\times10^{-3}\), hur stor är stressen då? I vilken riktning verkar den?

b) Man vet att storleken på \(C_D\) ändras när det är is på vattnet, och några forskare har föreslagit att \(C_D=10^{-3}\times(1.5+2.233C_i-2.333C_i^2)\) där \(C_i\) är andelen av havytan som är täckt av is (iskoncentrationen). För vilken iskoncentration är \(C_D\) störst? minst? Hur stor var iskoncentrationen i uppgiften ovan?

Uppgift 3

Under sin expedition på FRAM (1893-1896) så observerade Nansen att isen drev till höger (i Arktis) om vinden och han bad sin vän Vilhelm Bjerknes att få en av sina studenter att studera problemet. Det blev svensken Vagn Walfrid Ekman som förklarade isens rörelse, som är en effekt av friktion och jordens rotation. Ekman satte upp en teori för hur strömmen som vinden sätter upp uppförer sig. Strömmen ändrar sig med djupet (\(z\)) och vi kan skriva \(\vec{u(z)}=u(z)\vec{i} + v(z)\vec{j}\). Storleken på \(u(z)\) och \(v(z)\) kan vi beräkna från följande formler (som inte är så krångliga som de ser ut!)

\(
u(z)=\frac{\sqrt{2}}{1000fd} e^{z/d}\left[\tau_x cos(z/d-\pi/4) -\tau_y sin(z/d-\pi/4)\right]
\)

 

\(
v(z)=\frac{\sqrt{2}}{1000fd} e^{z/d}\left[\tau_x sin(z/d-\pi/4) +\tau_y sin(z/d-\pi/4)\right]
\)

 

där \(z\) är höjd (så djupen är negativa), \(f=1.46\times10^{-4}sin(latitud)\) är Coriolis faktorn och \(d=\sqrt{\frac{2\nu}{\left|f\right|}}\) är tjockleken på lagret som känner av vindens inverkan. Vi kallar det ofta Ekman lagret. \(\nu=10^{-2}m^2/s\) är viskositeten* – vattnets «tjockhet» eller tröghet (sirap har t.ex. högre viskositet än vatten**). Teorien är vida känd bland oceanografer och kallas bara för «Ekman spiralen».

* Den molekylära viskositeten till vatten är mycket lägre, \(\nu=10^{-6}m^2/s\), men i havet gör virvlar och turbulens att den effektiva viskositeten blir större.

** se e.g. https://no.wikipedia.org/wiki/Viskositet för en animerad illustration av effekten av viskositet

Uppgift 4

a) Vilket värde har Coriolis faktorn i Amundsen havet? I Bergen?

b) Hur tjockt är Ekman lagret? Ett isberg kan vara flera hundra meter tjockt – tror du det påverkas av strömmen som vinden sätter upp?

c) Om det blåser 15 m/s mot väster och det är isfritt, hur stor är då \(\tau_x\) och \(\tau_y\)? (Se uppgift 2)

d) Åt vilket håll (och med vilken hastighet) flyter vattnet i ytan (z=0)? På Ekmandjupet (z=-d)? På vilket djup går strömmen i motsatt riktning av vinden?

e) Försök plotta strömmen! Varför tror du vi pratar om Ekman spiral?

f) När vi skickar ner vår LADCP*** får vi strömprofiler med en upplösning på 8 m (dvs vi får ett värde för strömmen var åttonde meter). Tror du vi klarar observera Ekman spiralen? Varför/varför inte?

g) När det blåser mot väster i Bergen, åt vilket håll går strömmen i ytan då?

*** Ett instrument som följer med CTD:n ner till botten och mäter strömmen i vattnet på vägen. Man får då strömprofiler i tillägg till profiler av salt och temperatur.

Uppgift 5

Om man summerar upp (integrerar) strömmen som vinden sätter upp i Ekman lagret så kan man räkna ut transporten, dvs hur mycket vatten som flyttas åt vilket håll på grund av vinden. Det kallar vi för Ekman transporten, \(\vec{Q_{Ekman}}=U\vec{i}+V\vec{j}\). Då får vi att

\(U=\frac{10^{-3}}{f}\tau_y\)

 

\(V=-\frac{10^{-3}}{f}\tau_x\)

 

Enheten på U och V är \(m^3/m/s\) (eller \(m^2/s\)) och de anger alltså hur mycket vatten som flyter förbi per meter per sekund. Uttrycken för \(\tau\) finner du i uppgift 2.

a) Om det blåser 15 m/s mot nordväst och det är isfritt, hur stor är då U och V? åt vilket håll flyttas vattnet?

b) Hur stor är vinkeln mellan vinden och transporten?

c) Om vi har två bojar (se Figur nedan) som ligger 10 km ifrån varandra och där en linje mellan bojarna är parallel med vinden, hur mycket vatten strömmar mellan bojarna under en timme? Vad tror du händer om linjen mellan A och B hade varit kustlinjen?

Illustration till uppgift 4. Vinden blåser parallelt med linjen A-B. Åt vilket håll går Ekman transporten? Vad hade hänt om linjen A-B varit kustlinjen?

När vinden blåser parallelt med kusten, kommer vattnet antingen att samlas upp mot kusten eller att «försvinna» från kusten.

d) Åt vilket håll tror du det blåser när vi får översvämning på Bryggen i Bergen (tidvattnet har så klart också stor betydning!)

e) Vid kusten av den Antarktiska kontinenten blåser vinden vanligtvis mot väster – längre norrut (60S) blåser det starka vindar mot öster. Skissera hur vinden blåser och åt vilket håll Ekman transporten går. Vad tror du sker i mitten? Diskutera i grupp innan ni läser svaret längre ner på sidan.

 

 

 

Konvergens och divergens i havet

När vinden och därmed Ekmantransporten har olik riktning (det räcker egentligen att den ändrar storlek) från ett område till ett annat (som i uppgift 4) så får vi «konvergens» (om ytvattnet «samlas ihop», i.e. om pilarna som visar Ekmantransport pekar mot varandra) eller «divergens» (om det försvinner eller tunnas ut, i.e. om pilarna går ifrån varandra). När vi har divergens och ytvattnet «försvinner» så måste det fyllas på med vatten underifrån. Vatten från djupet «sugs» upp till ytan av vinden. I områden där det här sker kontinuerligt (e.g. runt Antarktis) är det stor biologisk aktivitet eftersom vattnet nere i djupet är rikt på näringsämnen. Vindmönstret runt Antarktis lyfter upp relativt tungt vatten från djupet och bidrar till att vattnet i den övre delen av havet är tyngre än i andra områden. Vatten som sjunkit ner till botten i Nord Atlanten kommer här upp till ytan igen. Vill du läsa mer så googla t.ex «wind driven upwelling».

 

 

Attachments

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *